平面路径

　　在平面几何中，我们常常会碰到与路径相关的问题，主要有三种表现形式：第一，对于给定的平面几何图形，如果已知起点和终点，按照指定的规则，求不同路径的数量;第二，对于给定的平面几何图形，要求走完每一段路，求最短路径;第三，计算平面图形中两点之间的最短距离。由于平面路径系列问题内容较多，计划分三次来给大家呈现，本次主要介绍第一类：

　　对于给定的平面几何图形，如果已知起点和终点，按照指定的规则，求不同路径的数量。一般通用的方式是逐点标数(本质为递推和数列)。具体方法：①确定起点和终点，在起点处标1;②确定运动方向(转化成上下左右)后转换角度，即每一点可能来的路径数;③由起点到终点(由近及远)逐级求和，每一个点的路径数等于可能到达它的点的路径数之和。理论比较抽象，我们通过几道例题一起来看一下：

　　【例1】小张从华兴园到软件公司上班要经过多条街道(软件公司在华兴园的东北方)。假如他只能向东或者向北行走，则他上班不同走法共有：

　　A.12种

　　B.15种

　　C.20种

　　D.10种

　　【答案】D

　　【解析】

　　第一步，已知了起点和终点，并确定了向东和向北的运动方向，求不同走法的总数，采用逐点标数法。先在起点处标1，并在正东和正北方向标1，如下图：

　　第二步，除起点外，任何一点只能从它的左边和下边过来(因为要求路程最短)，分析之后，接着可以标记余下点的路径数。如下图：

　　因此，选择D选项。

　　【例2】小赵从家出发去单位上班要经过多条街道(如图)，假如他只能向西或向南行走。则他上班有多少种不同的走法?

　　A.6

　　B.24

　　C.32

　　D.35

　　【答案】D

　　【解析】

　　第一步，已知了起点和终点，并确定了向西和向南的运动方向，求不同走法的总数，采用逐点标数法。先在起点处标1，并在正西和正南方向标1，如下图：

　　第二步，除起点外，任何一点只能从它的上边和右边过来(因为要求路程最短)，分析之后，接着可以标记余下点的路径数。如下图：

　　因此，选择D选项。

　　【例3】从A地到B地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问如果要以最短距离从A地到达B地，有多少种不同的走法可以选择?

　　A.14

　　B.15

　　C.18

　　D.21

　　【答案】B

　　【解析】

　　第一步，已知了起点和终点，题干要求最短距离只能向右或向上行进，求不同走法的总数，采用逐点标数法。先在起点A处标1，并在正东和正北方向标1，如下图：

　　第二步，除起点外，任何一点只能从它的左边和下边过来(因为要求路程最短)，分析之后，接着可以标记余下点的路径数。如下图：

　　因此，选择B选项。

　　【例4】A、B、C三地的地图如下图所示，其中A在C正北，B在C正东，连线处为道路。如要从A地到达B地，且途中只能向南、东和东南方向行进，有多少种不同的走法：

　　A.9

　　B.11

　　C.13

　　D.15

　　【答案】D

　　【解析】

　　第一步，已知了起点A和终点B，题干要求最短距离只能向南、向东或东南行进，求不同走法的总数，采用逐点标数法。先在起点A处标1，并在正南方向标1，如下图：

　　第二步，任何一点只能从它的上边、左边和左上方向过来(因为要求路程最短)，分析明白之后，接着可以标记余下点的路径数。如下图：

　　因此，选择D选项。

　　对于平面几何中的路径类问题，即给定一个平面几何图形，已知起点和终点，按照指定的规则，求不同路径的数量的题目，虽然针对部分简单图形，排列组合可以使用，但并不是最常用的解法，我们最常用的解法是标数法(本质为递推和数列)。当然，需要各位同学把握好题目特征以及具体方法的操作步骤，只有熟练掌握才能灵活自如地运用。